Persamaan Linear Tiga Variabel & Pembahasannya

I. Pendahuluan

Persamaan linear tiga variabel merupakan perluasan dari persamaan linear dua variabel yang telah dipelajari di tingkat SMP. Pada persamaan linear dua variabel, kita hanya berhadapan dengan dua variabel (biasanya x dan y) dan satu persamaan. Namun, dalam persamaan linear tiga variabel, kita akan berurusan dengan tiga variabel (misalnya x, y, dan z) dan setidaknya tiga persamaan untuk menemukan solusi yang unik. Pemahaman konsep ini penting sebagai dasar untuk mempelajari aljabar linear yang lebih lanjut, dan penerapannya dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer.

II. Bentuk Umum Persamaan Linear Tiga Variabel

Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah:

ax + by + cz = d

di mana:

a, b, dan c adalah koefisien (bilangan real) dari variabel x, y, dan z.
d adalah konstanta (bilangan real).
x, y, dan z adalah variabel.

Setidaknya dibutuhkan tiga persamaan linear tiga variabel untuk mendapatkan solusi yang unik (satu himpunan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut). Jika jumlah persamaan kurang dari tiga, maka solusinya akan berupa himpunan tak hingga.

III. Metode Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain:

Metode Eliminasi: Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) satu variabel dari dua persamaan, sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel. Proses ini diulang hingga diperoleh nilai salah satu variabel, kemudian nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan sebelumnya untuk mencari nilai variabel lainnya.
Metode Substitusi: Metode ini dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain dari salah satu persamaan. Kemudian, substitusikan ekspresi tersebut ke dalam persamaan lainnya untuk mengurangi jumlah variabel. Proses ini diulang hingga diperoleh nilai semua variabel.
Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi): Metode ini merupakan kombinasi dari metode eliminasi dan substitusi. Kita dapat mengeliminasi satu variabel terlebih dahulu, kemudian menggunakan metode substitusi untuk mencari nilai variabel lainnya.
Metode Determinan (Aturan Cramer): Metode ini menggunakan konsep determinan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini lebih efisien untuk sistem persamaan yang lebih kompleks. Namun, pembahasan metode ini akan dibahas pada tingkat yang lebih lanjut.

IV. Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal persamaan linear tiga variabel dan pembahasannya:

Contoh 1:

Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan berikut:

x + y + z = 6
2x – y + z = 3
x + 2y – z = 3

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode eliminasi.

Eliminasi variabel z: Kurangi persamaan (1) dari persamaan (2) dan persamaan (3):

(2) – (1): x – 2y = -3 (Persamaan 4)
(3) – (1): y – 2z = -3 (Persamaan 5)

Eliminasi variabel y: Kalikan persamaan (4) dengan 2 dan tambahkan dengan persamaan (5):

2(x – 2y) + (y – 2z) = 2(-3) + (-3)
2x – 4y + y – 2z = -9
2x – 3y – 2z = -9 (Persamaan 6)

Namun, langkah di atas kurang tepat karena menghasilkan persamaan yang masih mengandung tiga variabel. Mari kita coba eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2) terlebih dahulu.

Kurangi persamaan (1) dari persamaan (2):

(2x – y + z) – (x + y + z) = 3 – 6
x – 2y = -3 (Persamaan 4)

Kemudian eliminasi z dari persamaan (1) dan (3):

(x + 2y – z) + (x + y + z) = 3 + 6
2x + 3y = 9 (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem persamaan dua variabel:

x – 2y = -3
2x + 3y = 9

Kalikan persamaan (4) dengan 2: 2x – 4y = -6

Kurangi persamaan ini dari persamaan (5):

(2x + 3y) – (2x – 4y) = 9 – (-6)
7y = 15
y = 15/7

Substitusikan nilai y ke persamaan (4):

x – 2(15/7) = -3
x = -3 + 30/7 = 9/7

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (1):

9/7 + 15/7 + z = 6
24/7 + z = 6
z = 6 – 24/7 = 18/7

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 9/7, y = 15/7, dan z = 18/7.

Contoh 2:

Carilah nilai x, y, dan z yang memenuhi:

x + y – z = 2
2x – y + z = 7
x + 2y + z = 9

Pembahasan (Metode Eliminasi):

Kita akan mengeliminasi variabel z. Jumlahkan persamaan pertama dan kedua:

(x + y – z) + (2x – y + z) = 2 + 7
3x = 9
x = 3

Substitusikan x = 3 ke persamaan pertama dan ketiga:

3 + y – z = 2 => y – z = -1
3 + 2y + z = 9 => 2y + z = 6

Sekarang kita memiliki sistem persamaan dua variabel:

y – z = -1
2y + z = 6

Jumlahkan kedua persamaan:

3y = 5
y = 5/3

Substitusikan y = 5/3 ke persamaan y – z = -1:

5/3 – z = -1
z = 8/3

Jadi, solusi adalah x = 3, y = 5/3, dan z = 8/3.

V. Kesimpulan

Persamaan linear tiga variabel merupakan konsep penting dalam aljabar. Memahami metode eliminasi dan substitusi, serta penerapannya dalam menyelesaikan soal, merupakan kunci untuk menguasai materi ini. Latihan soal secara rutin akan membantu meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan cepat dan tepat. Jangan ragu untuk mencoba berbagai metode dan memilih metode yang paling mudah dipahami dan efisien bagi Anda.