Persamaan Kuadrat: Soal dan Pembahasan Kelas 3 SMP

Persamaan Kuadrat: Soal dan Pembahasan Kelas 3 SMP

I. Pendahuluan

Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam matematika kelas 3 SMP. Pemahaman yang kuat terhadap konsep ini menjadi fondasi untuk mempelajari materi matematika lanjutan, seperti fungsi kuadrat, geometri analitik, dan kalkulus. Persamaan kuadrat secara umum ditulis dalam bentuk ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta (bilangan real) dan a ≠ 0. Variabel x mewakili nilai yang belum diketahui yang perlu dicari. Menemukan nilai x inilah yang menjadi inti dari penyelesaian persamaan kuadrat. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta penyelesaiannya secara detail, sehingga diharapkan dapat membantu siswa kelas 3 SMP dalam memahami dan menguasai materi ini.

II. Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat: Soal dan Pembahasan Kelas 3 SMP

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain:

  • Faktorisasi: Metode ini melibatkan penguraian persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Setelah difaktorkan, setiap faktor disamakan dengan nol dan diselesaikan untuk menemukan nilai x. Metode ini efektif jika persamaan kuadrat mudah difaktorkan.

  • Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Rumus kuadrat merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis persamaan kuadrat, termasuk yang sulit difaktorkan. Rumusnya adalah:

    x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

    di mana a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Diskriminan (b² – 4ac) menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.

  • Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Metode ini melibatkan manipulasi aljabar untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga akar-akarnya dapat dengan mudah ditemukan.

III. Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta penyelesaiannya menggunakan berbagai metode:

Contoh Soal 1: Faktorisasi

Selesaikan persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0 dengan metode faktorisasi.

Penyelesaian:

  1. Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 5 dan jika dikalikan hasilnya 6. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3.

  2. Faktorisasi persamaan kuadrat: (x + 2)(x + 3) = 0

  3. Tentukan nilai x:
    x + 2 = 0 => x = -2
    x + 3 = 0 => x = -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -2, -3.

Contoh Soal 2: Rumus Kuadrat

Selesaikan persamaan kuadrat 2x² – 5x + 2 = 0 dengan rumus kuadrat.

Penyelesaian:

  1. Identifikasi nilai a, b, dan c: a = 2, b = -5, c = 2

  2. Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus kuadrat:

    x = [-(-5) ± √((-5)² – 4(2)(2))] / 2(2)
    x = [5 ± √(25 – 16)] / 4
    x = [5 ± √9] / 4
    x = [5 ± 3] / 4

  3. Tentukan nilai x:
    x = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2
    x = (5 – 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 2, 1/2.

Contoh Soal 3: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Selesaikan persamaan kuadrat x² + 6x + 5 = 0 dengan metode melengkapi kuadrat sempurna.

Penyelesaian:

  1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan: x² + 6x = -5

  2. Tambahkan kuadrat setengah dari koefisien x (6/2 = 3, 3² = 9) ke kedua ruas:
    x² + 6x + 9 = -5 + 9
    x² + 6x + 9 = 4

  3. Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna: (x + 3)² = 4

  4. Akarkan kedua ruas: x + 3 = ±√4 = ±2

  5. Tentukan nilai x:
    x + 3 = 2 => x = -1
    x + 3 = -2 => x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah -1, -5.

Contoh Soal 4: Persamaan Kuadrat yang Tidak Memiliki Akar Real

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 5 = 0.

Penyelesaian:

Kita gunakan rumus kuadrat dengan a = 1, b = 2, dan c = 5:

x = [-2 ± √(2² – 4(1)(5))] / 2(1)
x = [-2 ± √(4 – 20)] / 2
x = [-2 ± √(-16)] / 2

Karena terdapat akar negatif di dalam akar kuadrat, maka persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real. Akar-akarnya berupa bilangan kompleks.

Contoh Soal 5: Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Masalah Kontekstual

Luas sebuah persegi panjang adalah 24 cm². Jika panjangnya 2 cm lebih panjang dari lebarnya, tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan lebar persegi panjang adalah x cm. Maka panjangnya adalah (x + 2) cm. Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar, sehingga:

x(x + 2) = 24
x² + 2x – 24 = 0

Kita selesaikan persamaan kuadrat ini dengan faktorisasi:

(x + 6)(x – 4) = 0

x = -6 atau x = 4

Karena lebar tidak mungkin negatif, maka lebar persegi panjang adalah 4 cm. Panjangnya adalah 4 + 2 = 6 cm.

IV. Kesimpulan

Persamaan kuadrat merupakan konsep penting dalam matematika. Memahami berbagai metode penyelesaian, seperti faktorisasi, rumus kuadrat, dan melengkapi kuadrat sempurna, sangat penting untuk dapat menyelesaikan berbagai jenis soal persamaan kuadrat. Latihan soal secara rutin akan membantu siswa dalam menguasai materi ini dan mempersiapkan diri untuk menghadapi soal-soal yang lebih kompleks di masa mendatang. Jangan ragu untuk berlatih dan mencari bantuan jika mengalami kesulitan.